Гипотеза Пуанкаре формулируется просто: всякое замкнутое односвязное трёхмерное многообразие и есть сфера, с точностью до непрерывной деформации. Сто лет её никто не мог доказать. В 2002–2003 годах Григорий Перельман выложил на arXiv три препринта, которые закрыли проблему, а потом отказался и от Филдсовской премии, и от миллиона долларов премии Клэя и остался жить в своей квартире в Купчине.
Теперь несколько неудобных наблюдений.
Связная мысль ведёт себя как замкнутое многообразие
Когда человек думает о чём-то последовательно — выстраивает рассуждение, приходит к выводу, возвращается к началу, — его нейронная активность оставляет в пространстве состояний след. Этот след можно записать, и его записывают: в данных МРТ, в ЭЭГ, в нейронных векторных представлениях.
Последние десять лет в вычислительной нейронауке набирает силу топологический анализ данных. Идея простая: вместо того чтобы видеть в активности мозга вектор в евклидовом пространстве, смотрят на её форму — на связность, дыры, петли, на то, какие из них сохраняются при смене масштаба.
Всплывает странная закономерность. Осмысленная, связная мысль похожа на активность, которая замыкается в петлю. Спутанная, тревожная — на активность, у которой концы не сходятся. По некоторым работам, в медитации у этой активности меньше «дыр», чем в обычном бодрствовании.
Сама гипотеза Пуанкаре здесь напрямую ни при чём. Но её язык оказывается удобным для описания того, что мы наблюдаем, и это уже кое-что.
Что это значит
Несколько работ, которые стоит знать.
— Джусти с коллегами (PNAS, 2015): топологический анализ корреляций между нейронами гиппокампа выявляет в них геометрическую структуру, которую обычные методы не видят. Геометрия в этой картине вырастает из топологии.
— Саггар с коллегами (Nature Communications, 2018): алгоритм Mapper превращает данные фМРТ в граф, и состояния мозга при разных задачах складываются в нём в различимые области, а переходы между ними можно отследить у отдельного человека.
— Нортофф и Хуан (2017), «пространственно-временная теория сознания»: сознание как структура с характерной динамикой во времени и пространстве.
Доказывать, что сознание по своей сути есть топологическое многообразие, эти данные не обязаны. Они показывают другое: топология — подходящий язык для описания того, как сознание работает.
Разница принципиальная. Онтология отвечает на вопрос «что есть», методология — на вопрос «как описывать», и пока мы стоим на втором.
Зачем вообще на это смотреть
Вычислительная нейронаука сейчас примерно там же, где физика в конце XIX века: данных масса, общей модели нет. Все знают, что нейроны разряжаются, все знают, что их активность согласована. Но что именно согласовано и как, описывают на уровне, который Резерфорд назвал бы коллекционированием марок.
Топология — попытка дать будущей модели математический скелет. Если связные мысли — замкнутые петли в пространстве состояний, если ясному сознанию соответствуют определённые устойчивые гомологии, если дежавю — пересечение текущей активности с уже записанной траекторией, то мышление становится объектом, который можно определить формально.
«Математика объяснила сознание» — сильнее того, что у нас есть. Осторожнее будет так: математика даёт инструмент, которым сознание, возможно, наконец удастся начать измерять.
Где кончается проверенное
Доказывая гипотезу Пуанкаре, Перельман опирался на поток Риччи, который Ричард Гамильтон развивал с 1980-х. Поток Риччи описывает, как метрика на многообразии меняется под действием кривизны.
Есть работы, где поток Риччи пытаются применять к графам нейронных связей. Заход красивый и модный, но пока преждевременный: математическая аналогия становится теорией, только когда делает предсказания, которые можно проверить.
Топология сознания пока дала язык, метрики и гипотезы. Ни одного запрета — ни одного «если это верно, вот этого наблюдать нельзя» — у неё ещё нет, а без запретов гипотеза научной не становится.
Мы в той фазе, когда язык опережает теорию. Так наука обычно выглядит перед прорывом — или перед открытием, что прорыва не будет. Второе тоже полезный результат.