La conjetura de Poincaré se enuncia de forma sencilla: toda variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es una esfera, salvo deformación continua. Durante cien años nadie consiguió demostrarla. En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó en arXiv tres preprints que resolvieron el problema, después rechazó la Medalla Fields y el premio de un millón de dólares del Instituto Clay y siguió viviendo en su piso de Kúpchino, en las afueras de San Petersburgo.
Y ahora, algunas observaciones incómodas.
Un pensamiento coherente se comporta como una variedad cerrada
Cuando alguien piensa algo de forma encadenada —construye un razonamiento, llega a una conclusión, vuelve al principio—, su actividad neuronal deja una huella en el espacio de estados. Esa huella puede registrarse, y se registra: en resonancia magnética funcional, en EEG, en representaciones vectoriales neuronales.
En la última década, el análisis topológico de datos ha ido ganando terreno en la neurociencia computacional. La idea es sencilla: en lugar de tratar la actividad cerebral como un vector en un espacio euclidiano, se mira su forma, la conectividad, los agujeros y los bucles, y cuáles de ellos persisten al cambiar la escala.
Aparece una regularidad extraña. El pensamiento coherente se parece a una actividad que se cierra en un bucle; el pensamiento ansioso y disperso, a una actividad cuyos extremos nunca se encuentran. Algunos estudios sugieren que, en la meditación, esa actividad tiene menos "agujeros" que en la vigilia corriente.
La conjetura de Poincaré en sí no desempeña aquí un papel directo. Pero su lenguaje resulta adecuado para describir lo que observamos, y eso ya es algo.
Qué significa
Algunos trabajos que conviene conocer.
— Giusti y sus colegas (PNAS, 2015): el análisis topológico de las correlaciones entre neuronas del hipocampo revela en ellas una estructura geométrica que los métodos corrientes no ven. En este cuadro, la geometría nace de la topología.
— Saggar y sus colegas (Nature Communications, 2018): el algoritmo Mapper convierte datos de resonancia funcional en un grafo en el que los estados del cerebro durante tareas distintas se agrupan en regiones diferenciadas, y las transiciones entre ellas pueden seguirse en una sola persona.
— Northoff y Huang (2017), la "teoría espaciotemporal de la consciencia": la consciencia como estructura con una dinámica característica en el tiempo y el espacio.
Estos datos no tienen obligación de demostrar que la consciencia es, en esencia, una variedad topológica. Lo que muestran es otra cosa: la topología es un lenguaje adecuado para describir cómo funciona la consciencia.
La diferencia es de fondo. La ontología responde a "qué es", la metodología a "cómo describirlo", y de momento estamos en lo segundo.
Por qué mirar esto
La neurociencia computacional está hoy más o menos donde estaba la física a finales del siglo XIX: datos en abundancia, ningún modelo general. Todo el mundo sabe que las neuronas se disparan y que su actividad está coordinada. Pero qué se coordina, y cómo, se describe a un nivel que Rutherford habría llamado coleccionar sellos.
La topología es un intento de dar al futuro modelo un esqueleto matemático. Si los pensamientos coherentes son bucles cerrados en el espacio de estados, si la consciencia lúcida corresponde a ciertas homologías persistentes, si el déjà vu es el cruce de la actividad actual con una trayectoria ya registrada, entonces el pensar se convierte en algo que puede definirse formalmente.
"Las matemáticas han explicado la consciencia" dice más de lo que tenemos. La versión prudente es que las matemáticas ofrecen una herramienta con la que quizá por fin pueda empezar a medirse la consciencia.
Hasta dónde llegan las pruebas
Para demostrar la conjetura de Poincaré, Perelman se apoyó en el flujo de Ricci, que Richard Hamilton venía desarrollando desde los años ochenta. El flujo de Ricci describe cómo cambia la métrica de una variedad bajo la acción de la curvatura.
Hay trabajos que intentan aplicar el flujo de Ricci a grafos de conexiones neuronales. Es un movimiento elegante y de moda, pero prematuro: una analogía matemática solo se convierte en teoría cuando hace predicciones que pueden comprobarse.
Hasta ahora, la topología de la mente ha producido lenguaje, métricas e hipótesis. No ha producido ninguna prohibición, ningún "si esto es cierto, aquello no puede observarse", y sin prohibiciones una hipótesis no llega a ser ciencia.
Estamos en la fase en que el lenguaje va por delante de la teoría. Así suele verse un campo antes de un avance, o antes de descubrir que el avance no llegará. Lo segundo también es un resultado útil.