A conjectura de Poincaré se enuncia de forma simples: toda variedade tridimensional fechada e simplesmente conexa é uma esfera, a menos de uma deformação contínua. Durante cem anos ninguém conseguiu prová-la. Em 2002 e 2003, Grigori Perelman publicou no arXiv três preprints que resolveram o problema, depois recusou a Medalha Fields e o prêmio de um milhão de dólares do Instituto Clay e continuou morando no seu apartamento em Kupchino, na periferia de São Petersburgo.
Agora, algumas observações incômodas.
Um pensamento coerente se comporta como uma variedade fechada
Quando alguém pensa em algo de forma encadeada — monta um raciocínio, chega a uma conclusão, volta ao começo —, sua atividade neural deixa um rastro no espaço de estados. Esse rastro pode ser registrado, e é: em ressonância magnética funcional, em EEG, em representações vetoriais neurais.
Na última década, a análise topológica de dados vem ganhando espaço na neurociência computacional. A ideia é simples: em vez de tratar a atividade cerebral como um vetor num espaço euclidiano, olha-se para a sua forma, para a conectividade, os buracos e os laços, e para quais deles persistem quando a escala muda.
Surge uma regularidade estranha. O pensamento coerente lembra uma atividade que se fecha num laço; o pensamento ansioso e disperso lembra uma atividade cujas pontas nunca se encontram. Alguns estudos sugerem que, na meditação, essa atividade tem menos "buracos" do que na vigília comum.
A conjectura de Poincaré em si não tem papel direto aqui. Mas a sua linguagem se mostra adequada para descrever o que observamos, e isso já é alguma coisa.
O que isso significa
Alguns trabalhos que vale a pena conhecer.
— Giusti e colegas (PNAS, 2015): a análise topológica das correlações entre neurônios do hipocampo revela nelas uma estrutura geométrica que os métodos comuns não enxergam. Nesse quadro, a geometria nasce da topologia.
— Saggar e colegas (Nature Communications, 2018): o algoritmo Mapper transforma dados de ressonância funcional num grafo em que os estados do cérebro durante tarefas diferentes se agrupam em regiões distintas, e as transições entre elas podem ser acompanhadas numa única pessoa.
— Northoff e Huang (2017), a "teoria espaço-temporal da consciência": a consciência como estrutura com dinâmica característica no tempo e no espaço.
Esses dados não têm obrigação de provar que a consciência é, em essência, uma variedade topológica. O que mostram é outra coisa: a topologia é uma linguagem adequada para descrever como a consciência funciona.
A diferença é fundamental. A ontologia responde "o que é", a metodologia responde "como descrever", e por enquanto estamos na segunda.
Por que olhar para isso
A neurociência computacional está hoje mais ou menos onde a física estava no fim do século XIX: dados em abundância, nenhum modelo geral. Todo mundo sabe que os neurônios disparam e que sua atividade é coordenada. Mas o que se coordena, e como, é descrito num nível que Rutherford chamaria de colecionar selos.
A topologia é uma tentativa de dar ao futuro modelo um esqueleto matemático. Se os pensamentos coerentes são laços fechados no espaço de estados, se a consciência lúcida corresponde a certas homologias persistentes, se o déjà-vu é o cruzamento da atividade atual com uma trajetória já registrada, então o pensar vira algo que se pode definir formalmente.
"A matemática explicou a consciência" afirma mais do que temos. A versão cuidadosa é que a matemática oferece um instrumento com o qual talvez finalmente se consiga começar a medir a consciência.
Até onde vão as provas
Para provar a conjectura de Poincaré, Perelman se apoiou no fluxo de Ricci, que Richard Hamilton vinha desenvolvendo desde os anos 1980. O fluxo de Ricci descreve como a métrica de uma variedade muda sob a ação da curvatura.
Há trabalhos que tentam aplicar o fluxo de Ricci a grafos de conexões neurais. É um movimento elegante e da moda, mas prematuro: uma analogia matemática só vira teoria quando faz previsões que podem ser testadas.
Até agora, a topologia da mente produziu linguagem, métricas e hipóteses. Não produziu nenhuma proibição, nenhum "se isto for verdade, aquilo não pode ser observado", e sem proibições uma hipótese não vira ciência.
Estamos na fase em que a linguagem corre à frente da teoria. É assim que um campo costuma parecer antes de uma virada, ou antes de descobrir que a virada não virá. O segundo desfecho também é um resultado útil.